Τα μαθηματικα ειμαι μια επιστημη που ή την μισείς ή την αγαπάς ολοκληρωτικα!

Το 1939 ο Τζορτζ Ντάντζιγκ ηταν τελειοφοιτος στο Μπερκλει. Μια μερα αργησε να παει στο μαθημα και οταν αργοπορημενος έφτασε ειδε στο πινακα δυο εξισωσεις που είχε γράψει ο καθηγητής. Ο Ντάντζιγκ νόμισε οτι ηταν μια εργασία που τους ειχε αναθέσει ο καθηγητης, τις αντέγραψε, πηγε στο σπίτι του και τις έλυσε. Μόνο που δεν ήταν εργασία. Ο καθηγητής τις είχε γράψει ως παραδειγμα δυο στατιστικων μαθηματικων προβληματων που κανεις δεν ειχε καταφερει να λυσει. Προσωπικα πιστευω οτι αν ειχε παρακολουθησει το μαθημα δεν θα εμπαινε στο κοπο να προσπαθησει να τις λυσει γιατι θα το θεωρουσε απιθανο. Τελικα ισως να μην ειναι και τοσο απιαστο και απιθανο να κατανοησει καποιος τα μαθηματικα!

Παρασκευή, 6 Μαρτίου 2009

εξισωσεις 2ου βαθμου

Οι εξισωσεις 2ου βαθμου λυνονται με δυο τροπους, με παραγοντοποιηση ή με τον τυπο। Σημαντικο ειναι καποιος να γνωριζει τις ταυτοτητες, τις παραθετω(βασικες)

-1- (α+β)²=α²+2αβ+β² παραδειγμα: (χ+2)²=χ²+2χ2+2² = =χ²+4χ+4

2- (α-β)²=α²-2αβ+β² παραδειγμα: (χ-3)²=χ²-2χ3+3² = =χ²-6χ+९

-3- (α-β)(α+β)=α²-β² (διαφορα τετραγώνων, πολυ σημαντικη) παραδειγμα: (χ-3)(χ+3)=

χ²-3²=χ²-9

-4- (α+β)³=α³+3α²β+3αβ²+β³ παραδειγμα: (χ+2)³=χ³+3χ²2+3χ2²+2³=

=χ³+6χ²+12χ+8

Οι εξισώσεις λοιπον δευτέρου βαθμού μπορουν να λυθουν με παραγοντοποιηση οπως για παραδειγμα :  χ² -3χ-4=0
                      χ² +χ-4χ-4=0
                     χ(χ+1)-4(χ+1)=0
                     (χ+1)(χ-4)=0
αρα οι λυσεις ειναι χ+1=0 και χ-4=0

               επομενως χ=-1 και χ=4

ή με τον τυπο οπου χρησιμοποιουμε την διακρεινουσα.
πρωτα βρισκουμε τους συντελεστες α, β ,γ οι οποιοι ειναι αντιστοιχα: α ο αριθμος που βρισκεται ,μαζι με το προσημο φυσικα ,μπροστα απο το χ² , β ειναι ο αριθμος που βρισκεται μπροστα απο το χ, και γ οτι απομενει.

παραδειγμα: η εξισωση μας χ² -3χ-4=0  εχει


α=1
β=-3
γ=-4
 
μετα υπολογιζουμε την διακρεινουσα Δ= β2-4αγ

αρα Δ=(-3)2 –4*1*(-4)= 9 + 16= 25
 
εχουμε τρεις περιπτωσεις:   Δ>0, εδω εχουμε 2 λυσεις :
        χ= -β+ÖD / 2a
 kai c= -b-ÖD / 2a

Sto paradeigma  loipon c= -(-3)+Ö25 /2*1= 3+5 /2=8/2=4

kai c=-(-3)-Ö25 /2*1= 3-5 /2= -2/2= -1

ara oi duo luseiς ειναι χ= 4 και χ= -1

An diakreinousa D=0 tote ecoume mia lush c= -b/2a

An D<0 tote einai adunath.

3 σχόλια: